Resolver 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-11 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -33 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,33 -3,11$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=11$$

Berridatzi 3x^{2}+8x-11 honela: \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 11 bigarren taldean.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 8 balioa b balioarekin, eta -11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Egin 8 ber bi.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Gehitu 64 eta 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Atera 196 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-8±14}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -8 eta 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Zatitu 6 balioa 6 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{-8±14}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 14 ken -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Murriztu \frac{-22}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Gehitu 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Egin -11 ken 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Zatitu \frac{8}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{4}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{4}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Gehitu \frac{11}{3} eta \frac{16}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$