Resolver 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=8$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Ordeztu \frac{-5y+8}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-2y=-1).

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Gehitu -\frac{5y}{3} eta -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Egin ken \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{11}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Gehitu \frac{8}{3} eta -\frac{5}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Egin 3x-6y=-3 ken 3x+5y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y+6y=8+3$$

Gehitu 5y eta 6y.

$$11y=8+3$$

Gehitu 8 eta 3.

$$11y=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x-2y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-2=-1$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$