Resolver 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Ebatzi: r

$$r=3$$

$$r=5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Gehitu 45 bi aldeetan.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, r^{2}+ar+br+15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 15 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-15 -3,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

-8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=-3$$

Berridatzi r^{2}-8r+15 honela: \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Deskonposatu r lehen taldean, eta -3 bigarren taldean.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Deskonposatu r-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi r-5=0 eta r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Gehitu 45 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

-45 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Egin -45 ken 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -24 balioa b balioarekin, eta 45 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Egin -24 ber bi.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Gehitu 576 eta -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Atera 36 balioaren erro karratua.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

-24 zenbakiaren aurkakoa 24 da.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Orain, ebatzi r=\frac{24±6}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 24 eta 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Zatitu 30 balioa 6 balioarekin.

$$r=5$$

Orain, ebatzi r=\frac{24±6}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 6 ken 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Zatitu 18 balioa 6 balioarekin.

$$r=3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$r=5 r=3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Zatitu -24 balioa 3 balioarekin.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Zatitu -45 balioa 3 balioarekin.

$$r^{2}-8r=-15$$

Zatitu -8 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -4 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -4 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Egin -4 ber bi.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Gehitu -15 eta 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Atera r^{2}-8r+16 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sinplifikatu.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$r=5 r=3$$