Resolver 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Ebatzi: n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 1141 bi aldeetatik.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

-1140 lortzeko, 1 balioari kendu 1141.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$n^{2}+n-380=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, n^{2}+an+bn-380 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -380 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-19 b=20$$

Berridatzi n^{2}+n-380 honela: \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Deskonposatu n lehen taldean, eta 20 bigarren taldean.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Deskonposatu n-19 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi n-19=0 eta n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Egin ken 1141 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

1141 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Egin 1141 ken 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta -1140 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Egin 3 ber bi.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Gehitu 9 eta 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Atera 13689 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Orain, ebatzi n=\frac{-3±117}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Zatitu 114 balioa 6 balioarekin.

$$n=19$$

Orain, ebatzi n=\frac{-3±117}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 117 ken -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Zatitu -120 balioa 6 balioarekin.

$$n=-20$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=19 n=-20$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Egin 1 ken 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Zatitu 3 balioa 3 balioarekin.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Zatitu 1140 balioa 3 balioarekin.

$$n^{2}+n=380$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Gehitu 380 eta \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Atera n^{2}+n+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=19 n=-20$$