Resolver 3x^2-7x-6=0

$$3 { x }^{ 2 } -7x-6=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-6 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=3\left(-6\right)=-18$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -18 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=2$$

Berridatzi 3x^{2}-7x-6 honela: \left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$3x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta 3x+2=0.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta -6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 3}$$

Gehitu 49 eta 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Atera 121 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 3}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±11}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{7±11}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±11}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta 11.

$$x=\frac{18}{6}$$

Zatitu 18 balioa 6 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±11}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 11 ken 7.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Murriztu \frac{-4}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-7x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

-6 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-7x=-\left(-6\right)$$

Egin -6 ken 0.

$$3x^{2}-7x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{6}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{6}{3}$$

Zatitu 6 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=2$$

Zatitu -\frac{7}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=2+\frac{49}{36}$$

Gehitu 2 eta \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{121}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{11}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{11}{6}$$

Gehitu \frac{7}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$