Resolver 3x^2-15x+16=0

$$3 { x }^{ 2 } -15x+16=0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 3.457427108$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 1.542572892$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -15 balioa b balioarekin, eta 16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Egin -15 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times 16}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 16.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-192}}{2\times 3}$$

Gehitu 225 eta -192.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 15 eta \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}+15}{6}$$

Zatitu 15+\sqrt{33} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{33} ken 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{33}}{6}$$

Zatitu 15-\sqrt{33} balioa 6 balioarekin.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-15x+16-16=-16$$

16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-15x=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{16}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{16}{3}$$

Zatitu -15 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{3}$$

Zatitu -5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{16}{3}+\frac{25}{4}$$

Gehitu -\frac{16}{3} eta \frac{25}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{12}$$

Atera x^{2}-5x+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$