Resolver 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3.232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0.232050808$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -4 balioa a balioarekin, 12 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 12 ber bi.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Egin -4 bider -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 16 bider 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

Gehitu 144 eta 48.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

Atera 192 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 2 bider -4.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -12 eta 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Zatitu -12+8\sqrt{3} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} ekuazioa ± minus denean. Egin 8\sqrt{3} ken -12.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Zatitu -12-8\sqrt{3} balioa -8 balioarekin.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

-4 balioarekin zatituz gero, -4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Zatitu 12 balioa -4 balioarekin.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

Zatitu -3 balioa -4 balioarekin.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

Atera x^{2}-3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$