Resolver 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Ebatzi: y

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 25y^{2}+ay+by-63 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -1575 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

-54 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-75 b=21$$

Berridatzi 25y^{2}-54y-63 honela: \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Deskonposatu 25y lehen taldean, eta 21 bigarren taldean.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Deskonposatu y-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-3=0 eta 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 25 balioa a balioarekin, -54 balioa b balioarekin, eta -63 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Egin -54 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Egin -4 bider 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Egin -100 bider -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Gehitu 2916 eta 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Atera 9216 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54 zenbakiaren aurkakoa 54 da.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Egin 2 bider 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Orain, ebatzi y=\frac{54±96}{50} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 54 eta 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Zatitu 150 balioa 50 balioarekin.

$$y=3$$

Orain, ebatzi y=\frac{54±96}{50} ekuazioa ± minus denean. Egin 96 ken 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Murriztu \frac{-42}{50} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Gehitu 63 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

-63 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Egin -63 ken 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

25 balioarekin zatituz gero, 25 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Zatitu -\frac{54}{25} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{27}{25} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{27}{25} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Egin -\frac{27}{25} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Gehitu \frac{63}{25} eta \frac{729}{625} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Atera y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Gehitu \frac{27}{25} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$