Resolver 25x^2+30x+9=0

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 25x^{2}+ax+bx+9 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 225 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

30 batura duen parea da soluzioa.

$$a=15 b=15$$

Berridatzi 25x^{2}+30x+9 honela: \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

Deskonposatu 5x+3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 5x+3=0.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 25 balioa a balioarekin, 30 balioa b balioarekin, eta 9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Egin 30 ber bi.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Egin -4 bider 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Egin -100 bider 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Gehitu 900 eta -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

Egin 2 bider 25.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Murriztu \frac{-30}{50} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$25x^{2}+30x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

25 balioarekin zatituz gero, 25 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

Murriztu \frac{30}{25} zatikia gai txikienera, 5 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

Zatitu \frac{6}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Gehitu -\frac{9}{25} eta \frac{9}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Atera x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

Egin ken \frac{3}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=-\frac{3}{5}$$