Resolver 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Ebatzi: x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-600 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -600 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

10 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-20 b=30$$

Berridatzi x^{2}+10x-600 honela: \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 30 bigarren taldean.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Deskonposatu x-20 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-20=0 eta x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 25 balioa a balioarekin, 250 balioa b balioarekin, eta -15000 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Egin 250 ber bi.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Egin -4 bider 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Egin -100 bider -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Gehitu 62500 eta 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Atera 1562500 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Egin 2 bider 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-250±1250}{50} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -250 eta 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Zatitu 1000 balioa 50 balioarekin.

$$x=20$$

Orain, ebatzi x=\frac{-250±1250}{50} ekuazioa ± minus denean. Egin 1250 ken -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Zatitu -1500 balioa 50 balioarekin.

$$x=-30$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=20 x=-30$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Gehitu 15000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

-15000 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Egin -15000 ken 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

25 balioarekin zatituz gero, 25 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Zatitu 250 balioa 25 balioarekin.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Zatitu 15000 balioa 25 balioarekin.

$$x^{2}+10x=600$$

Zatitu 10 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 5 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 5 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Egin 5 ber bi.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Gehitu 600 eta 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Atera x^{2}+10x+25 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Sinplifikatu.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=20 x=-30$$