Resolver 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Ebatzi: k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 12k^{2}+ak+bk+12 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 144 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

25 batura duen parea da soluzioa.

$$a=9 b=16$$

Berridatzi 12k^{2}+25k+12 honela: \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Deskonposatu 3k lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Deskonposatu 4k+3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4k+3=0 eta 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 24 balioa a balioarekin, 50 balioa b balioarekin, eta 24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Egin 50 ber bi.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Egin -4 bider 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Egin -96 bider 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Gehitu 2500 eta -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Atera 196 balioaren erro karratua.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Egin 2 bider 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-50±14}{48} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -50 eta 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Murriztu \frac{-36}{48} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-50±14}{48} ekuazioa ± minus denean. Egin 14 ken -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Murriztu \frac{-64}{48} zatikia gai txikienera, 16 bakanduta eta ezeztatuta.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

24 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

24 balioarekin zatituz gero, 24 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Murriztu \frac{50}{24} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Zatitu -24 balioa 24 balioarekin.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Zatitu \frac{25}{12} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{25}{24} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{25}{24} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Egin \frac{25}{24} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Gehitu -1 eta \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Atera k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Sinplifikatu.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Egin ken \frac{25}{24} ekuazioaren bi aldeetan.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$