Resolver 23x-25y=-169;25x-23y=-167

$$23 x - 25 y = - 169 ; 25 x - 23 y = - 167$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$23x-25y=-169$$

Gehitu 25y ekuazioaren bi aldeetan.

$$23x=25y-169$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 23 balioarekin.

$$x=\frac{1}{23}\left(25y-169\right)$$

Egin \frac{1}{23} bider 25y-169.

$$x=\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}$$

Ordeztu \frac{25y-169}{23} balioa x balioarekin beste ekuazioan (25x-23y=-167).

$$25\left(\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}\right)-23y=-167$$

Egin 25 bider \frac{25y-169}{23}.

$$\frac{625}{23}y-\frac{4225}{23}-23y=-167$$

Gehitu \frac{625y}{23} eta -23y.

$$\frac{96}{23}y-\frac{4225}{23}=-167$$

Gehitu \frac{4225}{23} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{96}{23}y=\frac{384}{23}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{96}{23} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=\frac{25}{23}y-\frac{169}{23} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{25}{23}\times 4-\frac{169}{23}$$

Egin \frac{25}{23} bider 4.

$$x=\frac{100-169}{23}$$

Gehitu -\frac{169}{23} eta \frac{100}{23} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}&-\frac{-25}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}\\-\frac{25}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}&\frac{23}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{96}&\frac{25}{96}\\-\frac{25}{96}&\frac{23}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{96}\left(-169\right)+\frac{25}{96}\left(-167\right)\\-\frac{25}{96}\left(-169\right)+\frac{23}{96}\left(-167\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

23x eta 25x berdintzeko, biderkatu 25 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 23 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$25\times 23x+25\left(-25\right)y=25\left(-169\right),23\times 25x+23\left(-23\right)y=23\left(-167\right)$$

Sinplifikatu.

$$575x-625y=-4225,575x-529y=-3841$$

Egin 575x-529y=-3841 ken 575x-625y=-4225 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$575x-575x-625y+529y=-4225+3841$$

Gehitu 575x eta -575x. Sinplifikatu egiten dira 575x eta -575x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-625y+529y=-4225+3841$$

Gehitu -625y eta 529y.

$$-96y=-4225+3841$$

Gehitu -4225 eta 3841.

$$-96y=-384$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -96 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 25x-23y=-167 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$25x-23\times 4=-167$$

Egin -23 bider 4.

$$25x-92=-167$$

Gehitu 92 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x=-75$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=4$$