Resolver 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0.239130435+0.578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0.239130435-0.578031991i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 23 balioa a balioarekin, 11 balioa b balioarekin, eta 9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Egin 11 ber bi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Egin -4 bider 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Egin -92 bider 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Gehitu 121 eta -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Atera -707 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Egin 2 bider 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -11 eta i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{707} ken -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 23 balioarekin.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

23 balioarekin zatituz gero, 23 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Zatitu \frac{11}{23} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{11}{46} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{11}{46} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Egin \frac{11}{46} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Gehitu -\frac{9}{23} eta \frac{121}{2116} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Atera x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Egin ken \frac{11}{46} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$