Resolver 2y^2+y-5=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 5 = 0$$

Ebatzi: y

$$y = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1.350781059$$

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1.850781059$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2y^{2}+y-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin 1 ber bi.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -5.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

Gehitu 1 eta 40.

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta \sqrt{41}.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{41} ken -1.

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2y^{2}+y-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}+y-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2y^{2}+y=-\left(-5\right)$$

Egin -5 ken 0.

$$2y^{2}+y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{5}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Zatitu \frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{1}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

Atera y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Egin ken \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$