Resolver 2x-5=sqrt{x^2-7}

$$2 x - 5 = \sqrt { x ^ { 2 } - 7 }$$

Ebatzi: x

$$x=4$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(2x-5\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

\left(2x-5\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-20x+25=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

x^{2}-7 lortzeko, egin \sqrt{x^{2}-7} ber 2.

$$4x^{2}-20x+25=x^{2}-7$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{2}-20x+25-x^{2}=-7$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -x^{2}.

$$3x^{2}-20x+25=-7$$

Gehitu 7 bi aldeetan.

$$3x^{2}-20x+25+7=0$$

32 lortzeko, gehitu 25 eta 7.

$$3x^{2}-20x+32=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx+32 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-20 ab=3\times 32=96$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 96 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-96 -2,-48 -3,-32 -4,-24 -6,-16 -8,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-96=-97 -2-48=-50 -3-32=-35 -4-24=-28 -6-16=-22 -8-12=-20$$

-20 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-12 b=-8$$

Berridatzi 3x^{2}-20x+32 honela: \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta -8 bigarren taldean.

$$3x\left(x-4\right)-8\left(x-4\right)$$

Deskonposatu x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-4\right)\left(3x-8\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-4=0 eta 3x-8=0.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$

Ordeztu 4 balioa x balioarekin 2x-5=\sqrt{x^{2}-7} ekuazioan.

$$2\times 4-5=\sqrt{4^{2}-7}$$

Sinplifikatu. x=4 balioak ekuazioa betetzen du.

$$3=3$$

Ordeztu \frac{8}{3} balioa x balioarekin 2x-5=\sqrt{x^{2}-7} ekuazioan.

$$2\times \frac{8}{3}-5=\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-7}$$

Sinplifikatu. x=\frac{8}{3} balioak ekuazioa betetzen du.

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$