Resolver 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0.75+1.198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0.75-1.198957881i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

-5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

Egin -5 ken -1.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Egin -3 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

Gehitu 9 eta -32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Atera -23 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta i\sqrt{23}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{23} ken 3.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken -5.

$$2x^{2}-3x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Zatitu -4 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

Gehitu -2 eta \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$