Resolver 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7.566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0.066084381$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -15 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -15 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Gehitu 225 eta 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 15 eta \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{233} ken 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Zatitu -\frac{15}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{15}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{15}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{15}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{225}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Gehitu \frac{15}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$