Resolver 2x^2-15x=-7

$$2 x ^ { 2 } - 15 x = - 7$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=7$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Gehitu 7 bi aldeetan.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx+7 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-15 ab=2\times 7=14$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 14 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-14 -2,-7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

-15 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-14 b=-1$$

Berridatzi 2x^{2}-15x+7 honela: \left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$2x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Deskonposatu x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-7\right)\left(2x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-7=0 eta 2x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

-7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=0$$

Egin -7 ken 0.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -15 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Egin -15 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\times 7}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-56}}{2\times 2}$$

Gehitu 225 eta -56.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±13}{2\times 2}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$x=\frac{15±13}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{15±13}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±13}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 15 eta 13.

$$x=\frac{28}{4}$$

Zatitu 28 balioa 4 balioarekin.

$$x=7$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±13}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken 15.

$$x=\frac{2}{4}$$

Murriztu \frac{2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=-\frac{7}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Zatitu -\frac{15}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{15}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{15}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{15}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{225}{16}$$

Gehitu -\frac{7}{2} eta \frac{225}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{169}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{13}{4}$$

Gehitu \frac{15}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$