Resolver 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2.75+0.661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2.75-0.661437828i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -11 balioa b balioarekin, eta 16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Egin -11 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Gehitu 121 eta -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Atera -7 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

-11 zenbakiaren aurkakoa 11 da.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 11 eta i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{7} ken 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Zatitu -16 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Zatitu -\frac{11}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Gehitu -8 eta \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Gehitu \frac{11}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$