Resolver 2x^2-10x+7=0

$$2 x ^ { 2 } - 10 x + 7 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 5}{2} \approx 4.158312395$$

$$x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}\approx 0.841687605$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-10x+7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Egin -10 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-8\times 7}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-56}}{2\times 2}$$

Gehitu 100 eta -56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{44}}{2\times 2}$$

Atera 44 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 10 eta 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}+10}{4}$$

Zatitu 10+2\sqrt{11} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{11} ken 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{11}}{4}$$

Zatitu 10-2\sqrt{11} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-10x+7=0$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-10x+7-7=-7$$

7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-10x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-10x}{2}=-\frac{7}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{2}\right)x=-\frac{7}{2}$$

Zatitu -10 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-5x=-\frac{7}{2}$$

Zatitu -5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{7}{2}+\frac{25}{4}$$

Gehitu -\frac{7}{2} eta \frac{25}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{4}$$

Atera x^{2}-5x+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{11}}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$