Resolver 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Ebatzi: t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$t=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2t^{2}+at+bt-9 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -18 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

-3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=3$$

Berridatzi 2t^{2}-3t-9 honela: \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

Deskonposatu 2t lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Deskonposatu t-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi t-3=0 eta 2t+3=0.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Egin -3 ber bi.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Gehitu 9 eta 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Atera 81 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Orain, ebatzi t=\frac{3±9}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Zatitu 12 balioa 4 balioarekin.

$$t=3$$

Orain, ebatzi t=\frac{3±9}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 9 ken 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Murriztu \frac{-6}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Egin -9 ken 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Gehitu \frac{9}{2} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Atera t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$