Resolver 2x^2-6x+15=0

$$2 { x }^{ 2 } -6x+15 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2}\approx 1.5+2.291287847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}\approx 1.5-2.291287847i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-6x+15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -6 balioa b balioarekin, eta 15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Egin -6 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\times 15}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-120}}{2\times 2}$$

Gehitu 36 eta -120.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-84}}{2\times 2}$$

Atera -84 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 2}$$

-6 zenbakiaren aurkakoa 6 da.

$$x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 6 eta 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{21}i}{4}$$

Zatitu 6+2i\sqrt{21} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{21} ken 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+6}{4}$$

Zatitu 6-2i\sqrt{21} balioa 4 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2} x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-6x+15=0$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-6x+15-15=-15$$

15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-6x=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=-\frac{15}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=-\frac{15}{2}$$

Zatitu -6 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-3x=-\frac{15}{2}$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{15}{2}+\frac{9}{4}$$

Gehitu -\frac{15}{2} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Atera x^{2}-3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{21}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}i}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2} x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}$$