Resolver 2x^2+x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0.25+1.198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0.25-1.198957881i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Gehitu 1 eta -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Atera -23 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{23} ken -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Zatitu \frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Gehitu -\frac{3}{2} eta \frac{1}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Egin ken \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$