Resolver 18p+(9-p/2)^2=100

$$18 p + ( 9 - \frac { p } { 2 } ) ^ { 2 } = 100$$

Ebatzi: p

$$p=-38$$

$$p=2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(9-\frac{p}{2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$18p+81+18\left(-\frac{p}{2}\right)+\left(-\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

Deuseztatu 18 eta 2 balioen faktore komunetan handiena (2).

$$18p+81-9p+\left(-\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

\left(\frac{p}{2}\right)^{2} lortzeko, egin -\frac{p}{2} ber 2.

$$18p+81-9p+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

9p lortzeko, konbinatu 18p eta -9p.

$$9p+81+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

\frac{p}{2} berretzeko, berretu zenbakitzailea eta izendatzailea eta, ondoren, egin zatiketa.

$$9p+81+\frac{p^{2}}{2^{2}}=100$$

Adierazpenak gehitzeko edo kentzeko, zabal itzazu izendatzaileak berdintzeko. Egin 9p+81 bider \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{p^{2}}{2^{2}}=100$$

\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}}{2^{2}} eta \frac{p^{2}}{2^{2}} balioek izendatzaile bera dutenez, zenbakitzaileak batu behar dituzu zatikien batura kalkulatzeko.

$$\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}+p^{2}}{2^{2}}=100$$

Egin biderketak \left(9p+81\right)\times 2^{2}+p^{2} zatikian.

$$\frac{36p+324+p^{2}}{2^{2}}=100$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$\frac{36p+324+p^{2}}{4}=100$$

Zatitu 36p+324+p^{2} ekuazioko gai bakoitza 4 balioarekin, 9p+81+\frac{1}{4}p^{2} lortzeko.

$$9p+81+\frac{1}{4}p^{2}=100$$

Kendu 100 bi aldeetatik.

$$9p+81+\frac{1}{4}p^{2}-100=0$$

-19 lortzeko, 81 balioari kendu 100.

$$9p-19+\frac{1}{4}p^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{1}{4}p^{2}+9p-19=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{1}{4} balioa a balioarekin, 9 balioa b balioarekin, eta -19 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times \frac{1}{4}\left(-19\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Egin 9 ber bi.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times \frac{1}{4}\left(-19\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Egin -4 bider \frac{1}{4}.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-\left(-19\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Egin -1 bider -19.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81+19}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Gehitu 81 eta 19.

$$p=\frac{-9±\sqrt{100}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Atera 100 balioaren erro karratua.

$$p=\frac{-9±10}{2\times \frac{1}{4}}$$

Egin 2 bider \frac{1}{4}.

$$p=\frac{-9±10}{\frac{1}{2}}$$

Orain, ebatzi p=\frac{-9±10}{\frac{1}{2}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -9 eta 10.

$$p=\frac{1}{\frac{1}{2}}$$

Zatitu 1 balioa \frac{1}{2} frakzioarekin, 1 balioa \frac{1}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$p=2$$

Orain, ebatzi p=\frac{-9±10}{\frac{1}{2}} ekuazioa ± minus denean. Egin 10 ken -9.

$$p=-\frac{19}{\frac{1}{2}}$$

Zatitu -19 balioa \frac{1}{2} frakzioarekin, -19 balioa \frac{1}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$p=-38$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$p=2 p=-38$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(9-\frac{p}{2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$18p+81+18\left(-\frac{p}{2}\right)+\left(-\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

Deuseztatu 18 eta 2 balioen faktore komunetan handiena (2).

$$18p+81-9p+\left(-\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

\left(\frac{p}{2}\right)^{2} lortzeko, egin -\frac{p}{2} ber 2.

$$18p+81-9p+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

9p lortzeko, konbinatu 18p eta -9p.

$$9p+81+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

\frac{p}{2} berretzeko, berretu zenbakitzailea eta izendatzailea eta, ondoren, egin zatiketa.

$$9p+81+\frac{p^{2}}{2^{2}}=100$$

Adierazpenak gehitzeko edo kentzeko, zabal itzazu izendatzaileak berdintzeko. Egin 9p+81 bider \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{p^{2}}{2^{2}}=100$$

\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}}{2^{2}} eta \frac{p^{2}}{2^{2}} balioek izendatzaile bera dutenez, zenbakitzaileak batu behar dituzu zatikien batura kalkulatzeko.

$$\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}+p^{2}}{2^{2}}=100$$

Egin biderketak \left(9p+81\right)\times 2^{2}+p^{2} zatikian.

$$\frac{36p+324+p^{2}}{2^{2}}=100$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$\frac{36p+324+p^{2}}{4}=100$$

Zatitu 36p+324+p^{2} ekuazioko gai bakoitza 4 balioarekin, 9p+81+\frac{1}{4}p^{2} lortzeko.

$$9p+81+\frac{1}{4}p^{2}=100$$

Kendu 81 bi aldeetatik.

$$9p+\frac{1}{4}p^{2}=100-81$$

19 lortzeko, 100 balioari kendu 81.

$$9p+\frac{1}{4}p^{2}=19$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{1}{4}p^{2}+9p=19$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{\frac{1}{4}p^{2}+9p}{\frac{1}{4}}=\frac{19}{\frac{1}{4}}$$

\frac{1}{4} balioarekin zatituz gero, \frac{1}{4} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$p^{2}+\frac{9}{\frac{1}{4}}p=\frac{19}{\frac{1}{4}}$$

Zatitu 9 balioa \frac{1}{4} frakzioarekin, 9 balioa \frac{1}{4} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$p^{2}+36p=\frac{19}{\frac{1}{4}}$$

Zatitu 19 balioa \frac{1}{4} frakzioarekin, 19 balioa \frac{1}{4} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$p^{2}+36p=76$$

Zatitu 36 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 18 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 18 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$p^{2}+36p+18^{2}=76+18^{2}$$

Egin 18 ber bi.

$$p^{2}+36p+324=76+324$$

Gehitu 76 eta 324.

$$p^{2}+36p+324=400$$

Atera p^{2}+36p+324 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(p+18\right)^{2}=400$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(p+18\right)^{2}}=\sqrt{400}$$

Sinplifikatu.

$$p+18=20 p+18=-20$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$p=2 p=-38$$