Resolver 17x^2-6x-15=0

$$17 x ^ { 2 } - 6 x - 15 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{2 \sqrt{66} + 3}{17} \approx 1.132239812$$

$$x=\frac{3-2\sqrt{66}}{17}\approx -0.779298636$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$17x^{2}-6x-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 17 balioa a balioarekin, -6 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 17\left(-15\right)}}{2\times 17}$$

Egin -6 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 17\left(-15\right)}}{2\times 17}$$

Egin -4 bider 17.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-68\left(-15\right)}}{2\times 17}$$

Egin -68 bider -15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+1020}}{2\times 17}$$

Gehitu 36 eta 1020.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{1056}}{2\times 17}$$

Atera 1056 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{66}}{2\times 17}$$

-6 zenbakiaren aurkakoa 6 da.

$$x=\frac{6±4\sqrt{66}}{2\times 17}$$

Egin 2 bider 17.

$$x=\frac{6±4\sqrt{66}}{34}$$

Orain, ebatzi x=\frac{6±4\sqrt{66}}{34} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 6 eta 4\sqrt{66}.

$$x=\frac{4\sqrt{66}+6}{34}$$

Zatitu 6+4\sqrt{66} balioa 34 balioarekin.

$$x=\frac{2\sqrt{66}+3}{17}$$

Orain, ebatzi x=\frac{6±4\sqrt{66}}{34} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{66} ken 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{66}}{34}$$

Zatitu 6-4\sqrt{66} balioa 34 balioarekin.

$$x=\frac{3-2\sqrt{66}}{17}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2\sqrt{66}+3}{17} x=\frac{3-2\sqrt{66}}{17}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$17x^{2}-6x-15=0$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$17x^{2}-6x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$17x^{2}-6x=-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 0.

$$17x^{2}-6x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$\frac{17x^{2}-6x}{17}=\frac{15}{17}$$

17 balioarekin zatituz gero, 17 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{6}{17}x=\frac{15}{17}$$

Zatitu -\frac{6}{17} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{17} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{17} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{6}{17}x+\left(-\frac{3}{17}\right)^{2}=\frac{15}{17}+\left(-\frac{3}{17}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{17} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{6}{17}x+\frac{9}{289}=\frac{15}{17}+\frac{9}{289}$$

Gehitu \frac{15}{17} eta \frac{9}{289} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{6}{17}x+\frac{9}{289}=\frac{264}{289}$$

Atera x^{2}-\frac{6}{17}x+\frac{9}{289} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{17}\right)^{2}=\frac{264}{289}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{17}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{264}{289}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{17}=\frac{2\sqrt{66}}{17} x-\frac{3}{17}=-\frac{2\sqrt{66}}{17}$$

Gehitu \frac{3}{17} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2\sqrt{66}+3}{17} x=\frac{3-2\sqrt{66}}{17}$$