Resolver 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0.25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0.25i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 16 balioa a balioarekin, -64 balioa b balioarekin, eta 65 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Egin -64 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Egin -4 bider 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Egin -64 bider 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Gehitu 4096 eta -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Atera -64 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

-64 zenbakiaren aurkakoa 64 da.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Egin 2 bider 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Orain, ebatzi x=\frac{64±8i}{32} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 64 eta 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Zatitu 64+8i balioa 32 balioarekin.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{64±8i}{32} ekuazioa ± minus denean. Egin 8i ken 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Zatitu 64-8i balioa 32 balioarekin.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Egin ken 65 ekuazioaren bi aldeetan.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

65 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

16 balioarekin zatituz gero, 16 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Zatitu -64 balioa 16 balioarekin.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Zatitu -4 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -2 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -2 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Egin -2 ber bi.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Gehitu -\frac{65}{16} eta 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Atera x^{2}-4x+4 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$