Resolver 1530quadx^2-30x-470=0

$$1530 \quad x ^ { 2 } - 30 x - 470 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102}\approx 0.564137449$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}\approx -0.544529606$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$1530x^{2}-30x-470=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1530 balioa a balioarekin, -30 balioa b balioarekin, eta -470 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 1530\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Egin -30 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 1530\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Egin -4 bider 1530.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-6120\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Egin -6120 bider -470.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+2876400}}{2\times 1530}$$

Gehitu 900 eta 2876400.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{2877300}}{2\times 1530}$$

Atera 2877300 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±30\sqrt{3197}}{2\times 1530}$$

-30 zenbakiaren aurkakoa 30 da.

$$x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{2\times 1530}$$

Egin 2 bider 1530.

$$x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060}$$

Orain, ebatzi x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 30 eta 30\sqrt{3197}.

$$x=\frac{30\sqrt{3197}+30}{3060}$$

Zatitu 30+30\sqrt{3197} balioa 3060 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102}$$

Orain, ebatzi x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060} ekuazioa ± minus denean. Egin 30\sqrt{3197} ken 30.

$$x=\frac{30-30\sqrt{3197}}{3060}$$

Zatitu 30-30\sqrt{3197} balioa 3060 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102} x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$1530x^{2}-30x-470=0$$

Gehitu 470 ekuazioaren bi aldeetan.

$$1530x^{2}-30x-470-\left(-470\right)=-\left(-470\right)$$

-470 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$1530x^{2}-30x=-\left(-470\right)$$

Egin -470 ken 0.

$$1530x^{2}-30x=470$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1530 balioarekin.

$$\frac{1530x^{2}-30x}{1530}=\frac{470}{1530}$$

1530 balioarekin zatituz gero, 1530 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{1530}\right)x=\frac{470}{1530}$$

Murriztu \frac{-30}{1530} zatikia gai txikienera, 30 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x=\frac{470}{1530}$$

Murriztu \frac{470}{1530} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x=\frac{47}{153}$$

Zatitu -\frac{1}{51} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{102} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{102} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\left(-\frac{1}{102}\right)^{2}=\frac{47}{153}+\left(-\frac{1}{102}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{102} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}=\frac{47}{153}+\frac{1}{10404}$$

Gehitu \frac{47}{153} eta \frac{1}{10404} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}=\frac{3197}{10404}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{102}\right)^{2}=\frac{3197}{10404}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{102}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3197}{10404}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{102}=\frac{\sqrt{3197}}{102} x-\frac{1}{102}=-\frac{\sqrt{3197}}{102}$$

Gehitu \frac{1}{102} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102} x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$