Resolver 15x^2-97x+1=0

$$15 x ^ { 2 } - 97 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{9349} + 97}{30} \approx 6.4563409$$

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}\approx 0.010325766$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 15 balioa a balioarekin, -97 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Egin -97 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-4\times 15}}{2\times 15}$$

Egin -4 bider 15.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-60}}{2\times 15}$$

Gehitu 9409 eta -60.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

-97 zenbakiaren aurkakoa 97 da.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Egin 2 bider 15.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 97 eta \sqrt{9349}.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{9349} ken 97.

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$15x^{2}-97x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$15x^{2}-97x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$\frac{15x^{2}-97x}{15}=-\frac{1}{15}$$

15 balioarekin zatituz gero, 15 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x=-\frac{1}{15}$$

Zatitu -\frac{97}{15} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{97}{30} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{97}{30} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}$$

Egin -\frac{97}{30} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=-\frac{1}{15}+\frac{9409}{900}$$

Gehitu -\frac{1}{15} eta \frac{9409}{900} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=\frac{9349}{900}$$

Atera x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}=\frac{9349}{900}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9349}{900}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{97}{30}=\frac{\sqrt{9349}}{30} x-\frac{97}{30}=-\frac{\sqrt{9349}}{30}$$

Gehitu \frac{97}{30} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$