Resolver 12x^2-10x+2=0

$$12 x ^ { 2 } - 10 x + 2 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$6x^{2}-5x+1=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=6\times 1=6$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 6 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-6 -2,-3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=-2$$

Berridatzi 6x^{2}-5x+1 honela: \left(6x^{2}-3x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$3x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Deskonposatu 2x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-1=0 eta 3x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12x^{2}-10x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 12\times 2}}{2\times 12}$$

Egin -10 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 12\times 2}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-48\times 2}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96}}{2\times 12}$$

Gehitu 100 eta -96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{4}}{2\times 12}$$

Atera 4 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2}{2\times 12}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$x=\frac{10±2}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$x=\frac{10±2}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±2}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 10 eta 2.

$$x=\frac{12}{24}$$

Murriztu \frac{12}{24} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±2}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 2 ken 10.

$$x=\frac{8}{24}$$

Murriztu \frac{8}{24} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12x^{2}-10x+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x^{2}-10x+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$12x^{2}-10x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12x^{2}-10x}{12}=-\frac{2}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{12}\right)x=-\frac{2}{12}$$

Murriztu \frac{-10}{12} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=-\frac{2}{12}$$

Murriztu \frac{-2}{12} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Zatitu -\frac{5}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Gehitu -\frac{1}{6} eta \frac{25}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

Gehitu \frac{5}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$