Resolver -4x^2+10x+10=0

$$-4 { x }^{ 2 } +10x+10=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{4} \approx 3.265564437$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}\approx -0.765564437$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-4x^{2}+10x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -4 balioa a balioarekin, 10 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-4\right)\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 10 ber bi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-4\right)\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Egin -4 bider -4.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+16\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 16 bider 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+160}}{2\left(-4\right)}$$

Gehitu 100 eta 160.

$$x=\frac{-10±\sqrt{260}}{2\left(-4\right)}$$

Atera 260 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{65}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 2 bider -4.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{65}}{-8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±2\sqrt{65}}{-8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -10 eta 2\sqrt{65}.

$$x=\frac{2\sqrt{65}-10}{-8}$$

Zatitu -10+2\sqrt{65} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±2\sqrt{65}}{-8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{65} ken -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}-10}{-8}$$

Zatitu -10-2\sqrt{65} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4} x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-4x^{2}+10x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x^{2}+10x+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-4x^{2}+10x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$\frac{-4x^{2}+10x}{-4}=-\frac{10}{-4}$$

-4 balioarekin zatituz gero, -4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{10}{-4}x=-\frac{10}{-4}$$

Murriztu \frac{10}{-4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{10}{-4}$$

Murriztu \frac{-10}{-4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$$

Zatitu -\frac{5}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{5}{2}+\frac{25}{16}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{25}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{65}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{65}}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$