Resolver -3x^2-2x+5=0

$$-3 { x }^{ 2 } -2x+5 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -3x^{2}+ax+bx+5 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-2 ab=-3\times 5=-15$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -15 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-15 3,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

-2 batura duen parea da soluzioa.

$$a=3 b=-5$$

Berridatzi -3x^{2}-2x+5 honela: \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$3x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Deskonposatu -x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+1=0 eta 3x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 4 eta 60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Atera 64 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\left(-3\right)}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±8}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$x=\frac{2±8}{-6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±8}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 8.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Murriztu \frac{10}{-6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±8}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin 8 ken 2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Zatitu -6 balioa -6 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{5}{3} x=1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x^{2}-2x+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-3x^{2}-2x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3x^{2}-2x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)x=-\frac{5}{-3}$$

Zatitu -2 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

Zatitu -5 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Zatitu \frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta \frac{1}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

Egin ken \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$