Resolver -3x^2+4x+4=0

$$-3 { x }^{ 2 } +4x+4=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -3x^{2}+ax+bx+4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=4 ab=-3\times 4=-12$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -12 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

4 batura duen parea da soluzioa.

$$a=6 b=-2$$

Berridatzi -3x^{2}+4x+4 honela: \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$3x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Deskonposatu -x+2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+2=0 eta 3x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3x^{2}+4x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 16 eta 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Atera 64 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$x=\frac{-4±8}{-6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±8}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 8.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Murriztu \frac{4}{-6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±8}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin 8 ken -4.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Zatitu -12 balioa -6 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{2}{3} x=2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3x^{2}+4x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x^{2}+4x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-3x^{2}+4x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{4}{-3}$$

Zatitu 4 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{-3}$$

Zatitu -4 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}$$

Zatitu -\frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}$$

Gehitu \frac{4}{3} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{4}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-\frac{2}{3}$$