Resolver -9x^2+30x-16=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 30 x - 16 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -9x^{2}+ax+bx-16 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=30 ab=-9\left(-16\right)=144$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 144 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

30 batura duen parea da soluzioa.

$$a=24 b=6$$

Berridatzi -9x^{2}+30x-16 honela: \left(-9x^{2}+24x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(-9x^{2}+24x\right)+\left(6x-16\right)$$

Deskonposatu -3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$-3x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Deskonposatu 3x-8 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-8\right)\left(-3x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-8=0 eta -3x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-9x^{2}+30x-16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -9 balioa a balioarekin, 30 balioa b balioarekin, eta -16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-9\right)\left(-16\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Egin 30 ber bi.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-9\right)\left(-16\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Egin -4 bider -9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+36\left(-16\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Egin 36 bider -16.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-576}}{2\left(-9\right)}$$

Gehitu 900 eta -576.

$$x=\frac{-30±\sqrt{324}}{2\left(-9\right)}$$

Atera 324 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-30±18}{2\left(-9\right)}$$

Egin 2 bider -9.

$$x=\frac{-30±18}{-18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-30±18}{-18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -30 eta 18.

$$x=-\frac{12}{-18}$$

Murriztu \frac{-12}{-18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{2}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-30±18}{-18} ekuazioa ± minus denean. Egin 18 ken -30.

$$x=-\frac{48}{-18}$$

Murriztu \frac{-48}{-18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{8}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{8}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-9x^{2}+30x-16=0$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x^{2}+30x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-9x^{2}+30x=-\left(-16\right)$$

Egin -16 ken 0.

$$-9x^{2}+30x=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$\frac{-9x^{2}+30x}{-9}=\frac{16}{-9}$$

-9 balioarekin zatituz gero, -9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{30}{-9}x=\frac{16}{-9}$$

Murriztu \frac{30}{-9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{16}{-9}$$

Zatitu 16 balioa -9 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{16}{9}$$

Zatitu -\frac{10}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-16+25}{9}$$

Gehitu -\frac{16}{9} eta \frac{25}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=1$$

Atera x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=1$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{3}=1 x-\frac{5}{3}=-1$$

Gehitu \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{8}{3} x=\frac{2}{3}$$