Resolver -2x^2+2x+15=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{2} \approx 3.283882181$$

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}\approx -2.283882181$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta 15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -4 bider -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 8 bider 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-2\right)}$$

Gehitu 4 eta 120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-2\right)}$$

Atera 124 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 bider -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Zatitu -2+2\sqrt{31} balioa -4 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{31} ken -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Zatitu -2-2\sqrt{31} balioa -4 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2} x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x^{2}+2x+15-15=-15$$

15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-2x^{2}+2x=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

-2 balioarekin zatituz gero, -2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

Zatitu 2 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{-2}$$

Zatitu -15 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{15}{2}$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{15}{2} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$