Resolver -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -14x^{2}+ax+bx+4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -56 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=8 b=-7$$

Berridatzi -14x^{2}+x+4 honela: \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

Deskonposatu 2x -14x^{2}+8x taldean.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Deskonposatu -7x+4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -7x+4=0 eta 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -14 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Egin 1 ber bi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Egin -4 bider -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Egin 56 bider 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

Gehitu 1 eta 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

Atera 225 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

Egin 2 bider -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±15}{-28} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta 15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Murriztu \frac{14}{-28} zatikia gai txikienera, 14 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±15}{-28} ekuazioa ± minus denean. Egin 15 ken -1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

Murriztu \frac{-16}{-28} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{4}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

-14 balioarekin zatituz gero, -14 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

Zatitu 1 balioa -14 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Murriztu \frac{-4}{-14} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

Zatitu -\frac{1}{14} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{28} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{28} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{28} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Gehitu \frac{2}{7} eta \frac{1}{784} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Gehitu \frac{1}{28} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$