Resolver (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14.152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0.847932652$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Erabili banaketa-propietatea 20-x eta 100+20x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Kendu 2240 bi aldeetatik.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

-240 lortzeko, 2000 balioari kendu 2240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -20 balioa a balioarekin, 300 balioa b balioarekin, eta -240 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Egin 300 ber bi.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Egin -4 bider -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Egin 80 bider -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Gehitu 90000 eta -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Atera 70800 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Egin 2 bider -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -300 eta 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Zatitu -300+20\sqrt{177} balioa -40 balioarekin.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} ekuazioa ± minus denean. Egin 20\sqrt{177} ken -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Zatitu -300-20\sqrt{177} balioa -40 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 20-x eta 100+20x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Kendu 2000 bi aldeetatik.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

240 lortzeko, 2240 balioari kendu 2000.

$$300x-20x^{2}=240$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

-20 balioarekin zatituz gero, -20 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Zatitu 300 balioa -20 balioarekin.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Zatitu 240 balioa -20 balioarekin.

$$x^{2}-15x=-12$$

Zatitu -15 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{15}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{15}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{15}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Gehitu -12 eta \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Atera x^{2}-15x+\frac{225}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Gehitu \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$