Resolver (10-x)(200+50x)=1250

$$(10-x)(200+50x)=1250$$

Ebatzi: x

$$x=2\sqrt{6}+3\approx 7.898979486$$

$$x=3-2\sqrt{6}\approx -1.898979486$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Erabili banaketa-propietatea 10-x eta 200+50x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Kendu 1250 bi aldeetatik.

$$2000+300x-50x^{2}-1250=0$$

750 lortzeko, 2000 balioari kendu 1250.

$$750+300x-50x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-50x^{2}+300x+750=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -50 balioa a balioarekin, 300 balioa b balioarekin, eta 750 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Egin 300 ber bi.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Egin -4 bider -50.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+200\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Egin 200 bider 750.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+150000}}{2\left(-50\right)}$$

Gehitu 90000 eta 150000.

$$x=\frac{-300±\sqrt{240000}}{2\left(-50\right)}$$

Atera 240000 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{2\left(-50\right)}$$

Egin 2 bider -50.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -300 eta 200\sqrt{6}.

$$x=\frac{200\sqrt{6}-300}{-100}$$

Zatitu -300+200\sqrt{6} balioa -100 balioarekin.

$$x=3-2\sqrt{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100} ekuazioa ± minus denean. Egin 200\sqrt{6} ken -300.

$$x=\frac{-200\sqrt{6}-300}{-100}$$

Zatitu -300-200\sqrt{6} balioa -100 balioarekin.

$$x=2\sqrt{6}+3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3-2\sqrt{6} x=2\sqrt{6}+3$$

Karratua osatzeko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 10-x eta 200+50x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Kendu 2000 bi aldeetatik.

$$300x-50x^{2}=1250-2000$$

-750 lortzeko, 1250 balioari kendu 2000.

$$300x-50x^{2}=-750$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-50x^{2}+300x=-750$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -50 balioarekin.

$$\frac{-50x^{2}+300x}{-50}=-\frac{750}{-50}$$

-50 balioarekin zatituz gero, -50 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{300}{-50}x=-\frac{750}{-50}$$

Zatitu 300 balioa -50 balioarekin.

$$x^{2}-6x=-\frac{750}{-50}$$

Zatitu -750 balioa -50 balioarekin.

$$x^{2}-6x=15$$

Zatitu -6 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -3 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -3 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=15+\left(-3\right)^{2}$$

Egin -3 ber bi.

$$x^{2}-6x+9=15+9$$

Gehitu 15 eta 9.

$$x^{2}-6x+9=24$$

Atera x^{2}-6x+9 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-3\right)^{2}=24$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{24}$$

Sinplifikatu.

$$x-3=2\sqrt{6} x-3=-2\sqrt{6}$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$