Resolver (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Ebatzi: r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2.22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20.22497216$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(3+r\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

\left(15+r\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

234 lortzeko, gehitu 9 eta 225.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

36r lortzeko, konbinatu 6r eta 30r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

2r^{2} lortzeko, konbinatu r^{2} eta r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

324 lortzeko, egin 18 ber 2.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Kendu 324 bi aldeetatik.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

-90 lortzeko, 234 balioari kendu 324.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 36 balioa b balioarekin, eta -90 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Egin 36 ber bi.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Gehitu 1296 eta 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Atera 2016 balioaren erro karratua.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Orain, ebatzi r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -36 eta 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Zatitu -36+12\sqrt{14} balioa 4 balioarekin.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Orain, ebatzi r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 12\sqrt{14} ken -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Zatitu -36-12\sqrt{14} balioa 4 balioarekin.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(3+r\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

\left(15+r\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

234 lortzeko, gehitu 9 eta 225.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

36r lortzeko, konbinatu 6r eta 30r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

2r^{2} lortzeko, konbinatu r^{2} eta r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

324 lortzeko, egin 18 ber 2.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Kendu 234 bi aldeetatik.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

90 lortzeko, 324 balioari kendu 234.

$$36r+2r^{2}=90$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2r^{2}+36r=90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Zatitu 36 balioa 2 balioarekin.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Zatitu 90 balioa 2 balioarekin.

$$r^{2}+18r=45$$

Zatitu 18 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 9 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 9 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Egin 9 ber bi.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Gehitu 45 eta 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Atera r^{2}+18r+81 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Sinplifikatu.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$