Resolver (2500+250x)^2+500^2=(340x)^2

$$( 2500 + 250 x ) ^ { 2 } + 500 ^ { 2 } = ( 340 x ) ^ { 2 }$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{50 \sqrt{29431} + 6250}{531} \approx 27.924167233$$

$$x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531}\approx -4.383677591$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(2500+250x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+500^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

250000 lortzeko, egin 500 ber 2.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+250000=\left(340x\right)^{2}$$

6500000 lortzeko, gehitu 6250000 eta 250000.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Garatu \left(340x\right)^{2}.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=340^{2}x^{2}$$

115600 lortzeko, egin 340 ber 2.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=115600x^{2}$$

Kendu 115600x^{2} bi aldeetatik.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}-115600x^{2}=0$$

-53100x^{2} lortzeko, konbinatu 62500x^{2} eta -115600x^{2}.

$$6500000+1250000x-53100x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-53100x^{2}+1250000x+6500000=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -53100 balioa a balioarekin, 1250000 balioa b balioarekin, eta 6500000 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1250000^{2}-4\left(-53100\right)\times 6500000}}{2\left(-53100\right)}$$

Egin 1250000 ber bi.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1562500000000-4\left(-53100\right)\times 6500000}}{2\left(-53100\right)}$$

Egin -4 bider -53100.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1562500000000+212400\times 6500000}}{2\left(-53100\right)}$$

Egin 212400 bider 6500000.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1562500000000+1380600000000}}{2\left(-53100\right)}$$

Gehitu 1562500000000 eta 1380600000000.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{2943100000000}}{2\left(-53100\right)}$$

Atera 2943100000000 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{2\left(-53100\right)}$$

Egin 2 bider -53100.

$$x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{-106200}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{-106200} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1250000 eta 10000\sqrt{29431}.

$$x=\frac{10000\sqrt{29431}-1250000}{-106200}$$

Zatitu -1250000+10000\sqrt{29431} balioa -106200 balioarekin.

$$x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{-106200} ekuazioa ± minus denean. Egin 10000\sqrt{29431} ken -1250000.

$$x=\frac{-10000\sqrt{29431}-1250000}{-106200}$$

Zatitu -1250000-10000\sqrt{29431} balioa -106200 balioarekin.

$$x=\frac{50\sqrt{29431}+6250}{531}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531} x=\frac{50\sqrt{29431}+6250}{531}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(2500+250x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+500^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

250000 lortzeko, egin 500 ber 2.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+250000=\left(340x\right)^{2}$$

6500000 lortzeko, gehitu 6250000 eta 250000.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Garatu \left(340x\right)^{2}.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=340^{2}x^{2}$$

115600 lortzeko, egin 340 ber 2.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=115600x^{2}$$

Kendu 115600x^{2} bi aldeetatik.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}-115600x^{2}=0$$

-53100x^{2} lortzeko, konbinatu 62500x^{2} eta -115600x^{2}.

$$6500000+1250000x-53100x^{2}=0$$

Kendu 6500000 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$1250000x-53100x^{2}=-6500000$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-53100x^{2}+1250000x=-6500000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -53100 balioarekin.

$$\frac{-53100x^{2}+1250000x}{-53100}=-\frac{6500000}{-53100}$$

-53100 balioarekin zatituz gero, -53100 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{1250000}{-53100}x=-\frac{6500000}{-53100}$$

Murriztu \frac{1250000}{-53100} zatikia gai txikienera, 100 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x=-\frac{6500000}{-53100}$$

Murriztu \frac{-6500000}{-53100} zatikia gai txikienera, 100 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x=\frac{65000}{531}$$

Zatitu -\frac{12500}{531} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{6250}{531} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{6250}{531} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x+\left(-\frac{6250}{531}\right)^{2}=\frac{65000}{531}+\left(-\frac{6250}{531}\right)^{2}$$

Egin -\frac{6250}{531} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x+\frac{39062500}{281961}=\frac{65000}{531}+\frac{39062500}{281961}$$

Gehitu \frac{65000}{531} eta \frac{39062500}{281961} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x+\frac{39062500}{281961}=\frac{73577500}{281961}$$

Atera x^{2}-\frac{12500}{531}x+\frac{39062500}{281961} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{6250}{531}\right)^{2}=\frac{73577500}{281961}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6250}{531}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73577500}{281961}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{6250}{531}=\frac{50\sqrt{29431}}{531} x-\frac{6250}{531}=-\frac{50\sqrt{29431}}{531}$$

Gehitu \frac{6250}{531} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{50\sqrt{29431}+6250}{531} x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531}$$