Resolver (1+y^2)dx=(tan^-1y-x)dy

$$( 1 + y ^ { 2 } ) d x = ( \tan ^ { - 1 } y - x ) d y$$

Ebatzi: d (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{C}\text{, }&x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{ and }y\neq \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\text{ and }y\neq \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 1+y^{2} eta d biderkatzeko.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Erabili banaketa-propietatea d+y^{2}d eta x biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Erabili banaketa-propietatea \arctan(y)-x eta d biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Erabili banaketa-propietatea \arctan(y)d-xd eta y biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Kendu \arctan(y)dy bi aldeetatik.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy=-xdy$$

Gehitu xdy bi aldeetan.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy+xdy=0$$

Berrantolatu gaiak.

$$-dy\arctan(y)+dxy^{2}+dxy+dx=0$$

Konbinatu d duten gai guztiak.

$$\left(-y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x\right)d=0$$

Zatitu 0 balioa -y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x balioarekin.

$$d=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{, }&y\neq \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\text{ and }y\neq \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\\x\in \mathrm{C}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 1+y^{2} eta d biderkatzeko.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Erabili banaketa-propietatea d+y^{2}d eta x biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Erabili banaketa-propietatea \arctan(y)-x eta d biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Erabili banaketa-propietatea \arctan(y)d-xd eta y biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Gehitu xdy bi aldeetan.

$$dx+y^{2}dx+xdy=\arctan(y)dy$$

Konbinatu x duten gai guztiak.

$$\left(d+y^{2}d+dy\right)x=\arctan(y)dy$$

Modu arruntean dago ekuazioa.

$$\left(dy^{2}+dy+d\right)x=dy\arctan(y)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak d+y^{2}d+dy balioarekin.

$$\frac{\left(dy^{2}+dy+d\right)x}{dy^{2}+dy+d}=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

d+y^{2}d+dy balioarekin zatituz gero, d+y^{2}d+dy balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Zatitu \arctan(y)dy balioa d+y^{2}d+dy balioarekin.

$$x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}$$

Ebatzi: d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 1+y^{2} eta d biderkatzeko.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Erabili banaketa-propietatea d+y^{2}d eta x biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Erabili banaketa-propietatea \arctan(y)-x eta d biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Erabili banaketa-propietatea \arctan(y)d-xd eta y biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Kendu \arctan(y)dy bi aldeetatik.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy=-xdy$$

Gehitu xdy bi aldeetan.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy+xdy=0$$

Berrantolatu gaiak.

$$-dy\arctan(y)+dxy^{2}+dxy+dx=0$$

Konbinatu d duten gai guztiak.

$$\left(-y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x\right)d=0$$

Zatitu 0 balioa -y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x balioarekin.

$$d=0$$

Ebatzi: x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 1+y^{2} eta d biderkatzeko.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Erabili banaketa-propietatea d+y^{2}d eta x biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Erabili banaketa-propietatea \arctan(y)-x eta d biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Erabili banaketa-propietatea \arctan(y)d-xd eta y biderkatzeko.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Gehitu xdy bi aldeetan.

$$dx+y^{2}dx+xdy=\arctan(y)dy$$

Konbinatu x duten gai guztiak.

$$\left(d+y^{2}d+dy\right)x=\arctan(y)dy$$

Modu arruntean dago ekuazioa.

$$\left(dy^{2}+dy+d\right)x=dy\arctan(y)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak d+y^{2}d+dy balioarekin.

$$\frac{\left(dy^{2}+dy+d\right)x}{dy^{2}+dy+d}=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

d+y^{2}d+dy balioarekin zatituz gero, d+y^{2}d+dy balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Zatitu \arctan(y)dy balioa d+y^{2}d+dy balioarekin.

$$x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}$$