Resolver x^2-8x-15=5

$${ x }^{ 2 } -8x-15=5$$

Ebatzi: x

$$x=-2$$

$$x=10$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Kendu 5 bi aldeetatik.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

-20 lortzeko, -15 balioari kendu 5.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-8x-20 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-8 ab=-20$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -20 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

-8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=2$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-10=0 eta x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 5 bi aldeetatik.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

-20 lortzeko, -15 balioari kendu 5.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-20 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-8 ab=1\left(-20\right)=-20$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -20 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

-8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=2$$

Berridatzi x^{2}-8x-20 honela: \left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$x\left(x-10\right)+2\left(x-10\right)$$

Deskonposatu x-10 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-10=0 eta x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-8x-15=5$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-8x-15-5=5-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

Egin 5 ken -15.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta -20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

Egin -8 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-20\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -20.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2}$$

Gehitu 64 eta 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Atera 144 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$x=\frac{8±12}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±12}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 12.

$$x=\frac{20}{2}$$

Zatitu 20 balioa 2 balioarekin.

$$x=10$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±12}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 12 ken 8.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Zatitu -4 balioa 2 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=10 x=-2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-8x-15=5$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=5-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-8x=5-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 5.

$$x^{2}-8x=20$$

Zatitu -8 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -4 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -4 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

Egin -4 ber bi.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

Gehitu 20 eta 16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

Atera x^{2}-8x+16 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Sinplifikatu.

$$x-4=6 x-4=-6$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=10 x=-2$$