Resolver sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Ebatzi: x

$$x=5$$

$$x=1$$

Ebazpidea

Egin ken -\sqrt{2x-1} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

3x+1 lortzeko, egin \sqrt{3x+1} ber 2.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

2x-1 lortzeko, egin \sqrt{2x-1} ber 2.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

0 lortzeko, 1 balioari kendu 1.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Egin ken 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Garatu \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

2x-1 lortzeko, egin \sqrt{2x-1} ber 2.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-1 biderkatzeko.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Kendu 8x bi aldeetatik.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

-6x lortzeko, konbinatu 2x eta -8x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-6x+5 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-6 ab=5$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-5 b=-1$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-5=0 eta x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Ordeztu 5 balioa x balioarekin \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1 ekuazioan.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Sinplifikatu. x=5 balioak ekuazioa betetzen du.

$$1=1$$

Ordeztu 1 balioa x balioarekin \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1 ekuazioan.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Sinplifikatu. x=1 balioak ekuazioa betetzen du.

$$1=1$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$