Resolver sqrt{2x+9}-sqrt{x-4}-3=0

$$\sqrt { 2 x + 9 } - \sqrt { x - 4 } - 3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=20$$

$$x=8$$

Ebazpidea

Egin ken -\sqrt{x-4}-3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{2x+9}=-\left(-\sqrt{x-4}-3\right)$$

-\sqrt{x-4}-3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$\sqrt{2x+9}=-\left(-\sqrt{x-4}\right)-\left(-3\right)$$

-\sqrt{x-4} zenbakiaren aurkakoa \sqrt{x-4} da.

$$\sqrt{2x+9}=\sqrt{x-4}-\left(-3\right)$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$\sqrt{2x+9}=\sqrt{x-4}+3$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{2x+9}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-4}+3\right)^{2}$$

2x+9 lortzeko, egin \sqrt{2x+9} ber 2.

$$2x+9=\left(\sqrt{x-4}+3\right)^{2}$$

\left(\sqrt{x-4}+3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$2x+9=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}+6\sqrt{x-4}+9$$

x-4 lortzeko, egin \sqrt{x-4} ber 2.

$$2x+9=x-4+6\sqrt{x-4}+9$$

5 lortzeko, gehitu -4 eta 9.

$$2x+9=x+5+6\sqrt{x-4}$$

Egin ken x+5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x+9-\left(x+5\right)=6\sqrt{x-4}$$

x+5 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x+9-x-5=6\sqrt{x-4}$$

x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x+9-5=6\sqrt{x-4}$$

4 lortzeko, 9 balioari kendu 5.

$$x+4=6\sqrt{x-4}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(x+4\right)^{2}=\left(6\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

\left(x+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(6\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Garatu \left(6\sqrt{x-4}\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=6^{2}\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

36 lortzeko, egin 6 ber 2.

$$x^{2}+8x+16=36\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

x-4 lortzeko, egin \sqrt{x-4} ber 2.

$$x^{2}+8x+16=36\left(x-4\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 36 eta x-4 biderkatzeko.

$$x^{2}+8x+16=36x-144$$

Kendu 36x bi aldeetatik.

$$x^{2}+8x+16-36x=-144$$

-28x lortzeko, konbinatu 8x eta -36x.

$$x^{2}-28x+16=-144$$

Gehitu 144 bi aldeetan.

$$x^{2}-28x+16+144=0$$

160 lortzeko, gehitu 16 eta 144.

$$x^{2}-28x+160=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-28x+160 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-28 ab=160$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 160 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-160 -2,-80 -4,-40 -5,-32 -8,-20 -10,-16$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-160=-161 -2-80=-82 -4-40=-44 -5-32=-37 -8-20=-28 -10-16=-26$$

-28 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-20 b=-8$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-20\right)\left(x-8\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-20=0 eta x-8=0.

$$x=20 x=8$$

Ordeztu 20 balioa x balioarekin \sqrt{2x+9}-\sqrt{x-4}-3=0 ekuazioan.

$$\sqrt{2\times 20+9}-\sqrt{20-4}-3=0$$

Sinplifikatu. x=20 balioak ekuazioa betetzen du.

$$0=0$$

Ordeztu 8 balioa x balioarekin \sqrt{2x+9}-\sqrt{x-4}-3=0 ekuazioan.

$$\sqrt{2\times 8+9}-\sqrt{8-4}-3=0$$

Sinplifikatu. x=8 balioak ekuazioa betetzen du.

$$0=0$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: \sqrt{2x+9}=\sqrt{x-4}+3.

$$x=20 x=8$$