Resolver {c}{3x+2y=5}{x+3y=-3}

$$\left.\begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { x + 3 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=5,x+3y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=5$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y+5}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=-3).

$$-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}+3y=-3$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta 3y.

$$\frac{7}{3}y+\frac{5}{3}=-3$$

Egin ken \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{3}y=-\frac{14}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider -2.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta \frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=5,x+3y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{2}{3\times 3-2}\\-\frac{1}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 5-\frac{2}{7}\left(-3\right)\\-\frac{1}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=5,x+3y=-3$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+2y=5,3x+3\times 3y=3\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$3x+2y=5,3x+9y=-9$$

Egin 3x+9y=-9 ken 3x+2y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+2y-9y=5+9$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-9y=5+9$$

Gehitu 2y eta -9y.

$$-7y=5+9$$

Gehitu 5 eta 9.

$$-7y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x+3y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3\left(-2\right)=-3$$

Egin 3 bider -2.

$$x-6=-3$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-2$$