Resolver {l}{x=-4y-5}{2x+10y=8}

$$\left. \begin{array}{l}{ x = - 4 y - 5 }\\{ 2 x + 10 y = 8 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-41$$

$$y=9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$x+4y=-5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=-5,2x+10y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=-5$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y-5$$

Ordeztu -4y-5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+10y=8).

$$2\left(-4y-5\right)+10y=8$$

Egin 2 bider -4y-5.

$$-8y-10+10y=8$$

Gehitu -8y eta 10y.

$$2y-10=8$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin x=-4y-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times 9-5$$

Egin -4 bider 9.

$$x=-36-5$$

Gehitu -5 eta -36.

$$x=-41$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-41,y=9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$x+4y=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=-5,2x+10y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-4\times 2}&-\frac{4}{10-4\times 2}\\-\frac{2}{10-4\times 2}&\frac{1}{10-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-2\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\left(-5\right)-2\times 8\\-\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-41\\9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-41,y=9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$x+4y=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=-5,2x+10y=8$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\times 4y=2\left(-5\right),2x+10y=8$$

Sinplifikatu.

$$2x+8y=-10,2x+10y=8$$

Egin 2x+10y=8 ken 2x+8y=-10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+8y-10y=-10-8$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y-10y=-10-8$$

Gehitu 8y eta -10y.

$$-2y=-10-8$$

Gehitu -10 eta -8.

$$-2y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin 2x+10y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+10\times 9=8$$

Egin 10 bider 9.

$$2x+90=8$$

Egin ken 90 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-82$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-41$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-41,y=9$$