Resolver {l}{x+y=64}{0.12x+0.26y=0.19}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 64 }\\{ 0.12 x + 0.26 y = 0.19 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=117.5$$

$$y=-53.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=64$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+64$$

Ordeztu -y+64 balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.12x+0.26y=0.19).

$$0.12\left(-y+64\right)+0.26y=0.19$$

Egin 0.12 bider -y+64.

$$-0.12y+7.68+0.26y=0.19$$

Gehitu -\frac{3y}{25} eta \frac{13y}{50}.

$$0.14y+7.68=0.19$$

Egin ken 7.68 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.14y=-7.49$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.14 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-53.5$$

Ordeztu -53.5 y balioarekin x=-y+64 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-53.5\right)+64$$

Egin -1 bider -53.5.

$$x=53.5+64$$

Gehitu 64 eta 53.5.

$$x=117.5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=117.5,y=-53.5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.26}{0.26-0.12}&-\frac{1}{0.26-0.12}\\-\frac{0.12}{0.26-0.12}&\frac{1}{0.26-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{50}{7}\\-\frac{6}{7}&\frac{50}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{50}{7}\times 0.19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{50}{7}\times 0.19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}117.5\\-53.5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=117.5,y=-53.5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

x eta \frac{3x}{25} berdintzeko, biderkatu 0.12 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 64,0.12x+0.26y=0.19$$

Sinplifikatu.

$$0.12x+0.12y=7.68,0.12x+0.26y=0.19$$

Egin 0.12x+0.26y=0.19 ken 0.12x+0.12y=7.68 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.26y=7.68-0.19$$

Gehitu \frac{3x}{25} eta -\frac{3x}{25}. Sinplifikatu egiten dira \frac{3x}{25} eta -\frac{3x}{25}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.12y-0.26y=7.68-0.19$$

Gehitu \frac{3y}{25} eta -\frac{13y}{50}.

$$-0.14y=7.68-0.19$$

Gehitu 7.68 eta -0.19 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-0.14y=7.49$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.14 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-53.5$$

Ordeztu -53.5 y balioarekin 0.12x+0.26y=0.19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.12x+0.26\left(-53.5\right)=0.19$$

Egin 0.26 bider -53.5, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.12x-13.91=0.19$$

Gehitu 13.91 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.12x=14.1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.12 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=117.5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=117.5,y=-53.5$$