Resolver {l}{10x+10y=40}{5x+3y=8}

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 x + 10 y = 40 }\\{ 5 x + 3 y = 8 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10x+10y=40$$

Egin ken 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=-10y+40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+40\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -10y+40.

$$x=-y+4$$

Ordeztu -y+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+3y=8).

$$5\left(-y+4\right)+3y=8$$

Egin 5 bider -y+4.

$$-5y+20+3y=8$$

Gehitu -5y eta 3y.

$$-2y+20=8$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=-y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6+4$$

Gehitu 4 eta -6.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10\times 3-10\times 5}&-\frac{10}{10\times 3-10\times 5}\\-\frac{5}{10\times 3-10\times 5}&\frac{10}{10\times 3-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 40+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{4}\times 40-\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

10x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 40,10\times 5x+10\times 3y=10\times 8$$

Sinplifikatu.

$$50x+50y=200,50x+30y=80$$

Egin 50x+30y=80 ken 50x+50y=200 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$50x-50x+50y-30y=200-80$$

Gehitu 50x eta -50x. Sinplifikatu egiten dira 50x eta -50x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$50y-30y=200-80$$

Gehitu 50y eta -30y.

$$20y=200-80$$

Gehitu 200 eta -80.

$$20y=120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin 5x+3y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+3\times 6=8$$

Egin 3 bider 6.

$$5x+18=8$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=6$$