Resolver {l}{-5x+4y=3}{x=2y-15}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=-15$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x+4y=3$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-4y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider -4y+3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{4y-3}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-2y=-15).

$$\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-2y=-15$$

Gehitu \frac{4y}{5} eta -2y.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}=-15$$

Gehitu \frac{3}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{6}{5}y=-\frac{72}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{6}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{4}{5}\times 12-\frac{3}{5}$$

Egin \frac{4}{5} bider 12.

$$x=\frac{48-3}{5}$$

Gehitu -\frac{3}{5} eta \frac{48}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=-15$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{-5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-15\right)\\-\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{6}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=-15$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

-5x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5x+4y=3,-5x-5\left(-2\right)y=-5\left(-15\right)$$

Sinplifikatu.

$$-5x+4y=3,-5x+10y=75$$

Egin -5x+10y=75 ken -5x+4y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-5x+5x+4y-10y=3-75$$

Gehitu -5x eta 5x. Sinplifikatu egiten dira -5x eta 5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-10y=3-75$$

Gehitu 4y eta -10y.

$$-6y=3-75$$

Gehitu 3 eta -75.

$$-6y=-72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin x-2y=-15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-2\times 12=-15$$

Egin -2 bider 12.

$$x-24=-15$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=12$$