Resolver {l}{-20-25.10Z_{1}+40.50I_{2}=0}{27-118.75I_{2}-78.25Z_{1}=0}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 20 - 25.10 Z _ { 1 } + 40.50 I _ { 2 } = 0 }\\{ 27 - 118.75 I _ { 2 } - 78.25 Z _ { 1 } = 0 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: Z_1, I_2

$$Z_{1}=-\frac{5126}{24599}\approx -0.208382455$$

$$I_{2}=\frac{44854}{122995}\approx 0.364681491$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-25.1Z_{1}+40.5I_{2}-20=0,-78.25Z_{1}-118.75I_{2}+27=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi Z_{1}. Horretarako, isolatu Z_{1} berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-25.1Z_{1}+40.5I_{2}-20=0$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-25.1Z_{1}+40.5I_{2}=20$$

Egin ken \frac{81I_{2}}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-25.1Z_{1}=-40.5I_{2}+20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -25.1 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$Z_{1}=-\frac{10}{251}\left(-40.5I_{2}+20\right)$$

Egin -\frac{10}{251} bider -\frac{81I_{2}}{2}+20.

$$Z_{1}=\frac{405}{251}I_{2}-\frac{200}{251}$$

Ordeztu \frac{405I_{2}-200}{251} balioa Z_{1} balioarekin beste ekuazioan (-78.25Z_{1}-118.75I_{2}+27=0).

$$-78.25\left(\frac{405}{251}I_{2}-\frac{200}{251}\right)-118.75I_{2}+27=0$$

Egin -78.25 bider \frac{405I_{2}-200}{251}.

$$-\frac{126765}{1004}I_{2}+\frac{15650}{251}-118.75I_{2}+27=0$$

Gehitu -\frac{126765I_{2}}{1004} eta -\frac{475I_{2}}{4}.

$$-\frac{122995}{502}I_{2}+\frac{15650}{251}+27=0$$

Gehitu \frac{15650}{251} eta 27.

$$-\frac{122995}{502}I_{2}+\frac{22427}{251}=0$$

Egin ken \frac{22427}{251} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{122995}{502}I_{2}=-\frac{22427}{251}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{122995}{502} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$I_{2}=\frac{44854}{122995}$$

Ordeztu \frac{44854}{122995} I_{2} balioarekin Z_{1}=\frac{405}{251}I_{2}-\frac{200}{251} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, Z_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$Z_{1}=\frac{405}{251}\times \frac{44854}{122995}-\frac{200}{251}$$

Egin \frac{405}{251} bider \frac{44854}{122995}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$Z_{1}=\frac{3633174}{6174349}-\frac{200}{251}$$

Gehitu -\frac{200}{251} eta \frac{3633174}{6174349} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$Z_{1}=-\frac{5126}{24599}$$

Ebatzi da sistema.

$$Z_{1}=-\frac{5126}{24599},I_{2}=\frac{44854}{122995}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-25.1Z_{1}+40.5I_{2}-20=0,-78.25Z_{1}-118.75I_{2}+27=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-25.1&40.5\\-78.25&-118.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}Z_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-25.1&40.5\\-78.25&-118.75\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-25.1&40.5\\-78.25&-118.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25.1&40.5\\-78.25&-118.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}Z_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-25.1&40.5\\-78.25&-118.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-27\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}Z_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-25.1&40.5\\-78.25&-118.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}Z_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-25.1&40.5\\-78.25&-118.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}Z_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{118.75}{-25.1\left(-118.75\right)-40.5\left(-78.25\right)}&-\frac{40.5}{-25.1\left(-118.75\right)-40.5\left(-78.25\right)}\\-\frac{-78.25}{-25.1\left(-118.75\right)-40.5\left(-78.25\right)}&-\frac{25.1}{-25.1\left(-118.75\right)-40.5\left(-78.25\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}Z_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{475}{24599}&-\frac{162}{24599}\\\frac{313}{24599}&-\frac{502}{122995}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}Z_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{475}{24599}\times 20-\frac{162}{24599}\left(-27\right)\\\frac{313}{24599}\times 20-\frac{502}{122995}\left(-27\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}Z_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5126}{24599}\\\frac{44854}{122995}\end{matrix}\right)$$

Atera Z_{1} eta I_{2} matrize-elementuak.

$$Z_{1}=-\frac{5126}{24599},I_{2}=\frac{44854}{122995}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-25.1Z_{1}+40.5I_{2}-20=0,-78.25Z_{1}-118.75I_{2}+27=0$$

-\frac{251Z_{1}}{10} eta -\frac{313Z_{1}}{4} berdintzeko, biderkatu -78.25 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -25.1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-78.25\left(-25.1\right)Z_{1}-78.25\times 40.5I_{2}-78.25\left(-20\right)=0,-25.1\left(-78.25\right)Z_{1}-25.1\left(-118.75\right)I_{2}-25.1\times 27=0$$

Sinplifikatu.

$$1964.075Z_{1}-3169.125I_{2}+1565=0,1964.075Z_{1}+2980.625I_{2}-677.7=0$$

Egin 1964.075Z_{1}+2980.625I_{2}-677.7=0 ken 1964.075Z_{1}-3169.125I_{2}+1565=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$1964.075Z_{1}-1964.075Z_{1}-3169.125I_{2}-2980.625I_{2}+1565+677.7=0$$

Gehitu \frac{78563Z_{1}}{40} eta -\frac{78563Z_{1}}{40}. Sinplifikatu egiten dira \frac{78563Z_{1}}{40} eta -\frac{78563Z_{1}}{40}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3169.125I_{2}-2980.625I_{2}+1565+677.7=0$$

Gehitu -\frac{25353I_{2}}{8} eta -\frac{23845I_{2}}{8}.

$$-6149.75I_{2}+1565+677.7=0$$

Gehitu 1565 eta 677.7.

$$-6149.75I_{2}+2242.7=0$$

Egin ken 2242.7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6149.75I_{2}=-2242.7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6149.75 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$I_{2}=\frac{44854}{122995}$$

Ordeztu \frac{44854}{122995} I_{2} balioarekin -78.25Z_{1}-118.75I_{2}+27=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, Z_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$-78.25Z_{1}-118.75\times \frac{44854}{122995}+27=0$$

Egin -118.75 bider \frac{44854}{122995}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-78.25Z_{1}-\frac{2130565}{49198}+27=0$$

Gehitu -\frac{2130565}{49198} eta 27.

$$-78.25Z_{1}-\frac{802219}{49198}=0$$

Gehitu \frac{802219}{49198} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-78.25Z_{1}=\frac{802219}{49198}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -78.25 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$Z_{1}=-\frac{5126}{24599}$$

Ebatzi da sistema.

$$Z_{1}=-\frac{5126}{24599},I_{2}=\frac{44854}{122995}$$