Resolver {r}{6x+5y=23}{4x+y=13}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 5 y = 23 } \\ { 4 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+5y=23$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-5y+23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+23\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -5y+23.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}$$

Ordeztu \frac{-5y+23}{6} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+y=13).

$$4\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)+y=13$$

Egin 4 bider \frac{-5y+23}{6}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{46}{3}+y=13$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{46}{3}=13$$

Egin ken \frac{46}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{-5+23}{6}$$

Gehitu \frac{23}{6} eta -\frac{5}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 4}&-\frac{5}{6-5\times 4}\\-\frac{4}{6-5\times 4}&\frac{6}{6-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 23+\frac{5}{14}\times 13\\\frac{2}{7}\times 23-\frac{3}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

6x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 6x+4\times 5y=4\times 23,6\times 4x+6y=6\times 13$$

Sinplifikatu.

$$24x+20y=92,24x+6y=78$$

Egin 24x+6y=78 ken 24x+20y=92 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$24x-24x+20y-6y=92-78$$

Gehitu 24x eta -24x. Sinplifikatu egiten dira 24x eta -24x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y-6y=92-78$$

Gehitu 20y eta -6y.

$$14y=92-78$$

Gehitu 92 eta -78.

$$14y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 4x+y=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+1=13$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$